Question

9．在正数数列{a_n}中，前n项和S_n满足：S_n=2a_n-1，
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=2log₂a_n-29，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1，取n=1即可得出；
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用对数的运算性质可得：b_n=2n-31．再利用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-1，∴当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（3）b_n=2log₂a_n-29=$2lo{g}_{2}{2}^{n-1}$-29=2（n-1）-29=2n-31．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（-29+2n-31）}{2}$=n²-30n=（n-15）²-225．
∴T_n的最小值是-225．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．