Question

4．已知在数列{a_n}中，a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1（n∈N⁺），求通项公式a_n．

Answer 1

分析 a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1（n∈N⁺），平方可得4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，当n=1时，解得a₁．当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1可得4a_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化简整理利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1（n∈N⁺），∴4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
当n=1时，$4{a}_{1}=（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
两式相减可得：4a_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．