Question

3．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=$\sqrt{2}$，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为$\frac{π}{6}$？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接FN，证明FN∥AC，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥平面DEF．
（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PBC的法向量，平$面ABC的法向量\;\overrightarrow n=（0，0，1）$，通过向量的数量积求解二面角A-BC-P的大小．
（Ⅲ） 设存在点Q满足条件．设$\overrightarrow{FQ}=λ\overrightarrow{FE}（0≤λ≤1）$，通过直线BQ与平面BCP所成角的大小为$\frac{π}{6}$，列出关系式，求出λ，然后求解FQ的长．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC中点，所以FN∥AC，
因为FN?平面DEF，AC?平面DEF，
所以AC∥平面DEF…（4分）
（Ⅱ）如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．…（5分）

则$P（0，0，\sqrt{2}），B（1，1，0），C（0，2，0），所以\;\overrightarrow{PB}=（1，1，-\sqrt{2}），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{PB}=（x，y，z）•（1，1，-\sqrt{2}）=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=（x，y，z）•（-1，1，0）=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y-\sqrt{2}z=0\\-x+y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=x\\ z=\sqrt{2}x\end{array}\right.$，
令x=1，得 $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=\sqrt{2}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow m=（1，1，\sqrt{2}）$．…（7分）
因为平$面ABC的法向量\;\overrightarrow n=（0，0，1）$，
所以$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由图可知二面角A-BC-P为锐二面角，
所以二面角A-BC-P的大小为$\frac{π}{4}$．…（9分）
（Ⅲ） 设存在点Q满足条件．
由$F（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），E（0，2，\sqrt{2}）$．设$\overrightarrow{FQ}=λ\overrightarrow{FE}（0≤λ≤1）$，
整理得 $Q（\frac{1-λ}{2}，2λ，\frac{{\sqrt{2}（1+λ）}}{2}）$，$\overrightarrow{BQ}=（-\frac{1+λ}{2}，2λ-1，\frac{{\sqrt{2}（1+λ）}}{2}）$，…（11分）
因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为$\frac{π}{6}$，
所以 $sin\frac{π}{6}=|cos\left?{\overrightarrow{BQ}，\overrightarrow m}\right＞|=|\frac{{\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow m}}{{|{\overrightarrow{BQ}}|•|{\overrightarrow m}|}}|=\frac{|5λ-1|}{{2\sqrt{19{λ^2}-10λ+7}}}=\frac{1}{2}$，…（13分）
则λ²=1，由0≤λ≤1知λ=1，即Q点与E点重合．
故在线段EF上存在一点Q，且$|FQ|=|EF|=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．