Question

7．已知定义域为[-6，6]的函数f（x），恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且f（1）+f（-2）=$\frac{1}{2}$
（1）证明：f（x）+f（-x）=0，并求f（1），f（4）的值；
（2）如果x＞0时，f（x）＜0，解不等式f（x-1）＞-2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，先令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，问题得以证明，再令x=y=1，求得f（1），再令x=y=2，求得f（4）；
（2）先利用定义证明函数f（x）为减函数，再得到不等式组，解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数，
令x=y=1，
则f（1）+f（1）=f（2），
∵f（1）+f（-2）=$\frac{1}{2}$，
∴f（-2）=-f（2）=$\frac{1}{2}$-f（1），
∴f（2）=f（1）-$\frac{1}{2}$，
∴2f（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$，
∴f（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（2）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=-1，
再令x=y=2，
则f（4）=2f（2）=-2；
（2）任取x₁，x₂∈[-6，6]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又f（x）+f（y）=f（x+y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定义域内是减函数，
∵f（x-1）＞-2=f（4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6≤x-1≤6}\\{x-1＜4}\end{array}\right.$，
解得5＜x≤7，
故不等式的解集为（5，7]．

点评 本题考查了抽象函数的问题，灵活赋值是关键，属于中档题．