Question

2．如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．AC与BD相交于O．
（1）求证：FO⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-FA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理即可证明FO⊥平面ABCD．
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角E-FA-B的余弦值；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．AC与BD相交于O．
∴△DBF是等边三角形，
∵FA=FC，O为AC中点，
∴FO⊥AC，
∵O为BD中点，
∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD．
（2）∵OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
设AB=2，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，
∴OB=OD=1，OA=OF=$\sqrt{3}$，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），
F（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，-2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，2，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面AFE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
同理可得平面AFE的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$，
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵二面角E-FA-B是钝二面角，
∴二面角E-FA-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．