Question

10．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=ax-lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求证：对于区间（0，e]（其中e为自然对数的底数）上的任意两个值x₁，x₂，总有g（x₁）＞f（x₂）+$\frac{1}{2}$；
（3）若g（x）在（0，e]上的最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（2）求出[f（x）+$\frac{1}{2}$]_max=$\frac{1}{2}$，g（x）_min=g（1）=1，即可证明结论；
（3）g（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{a}$），单调增区间是（$\frac{1}{a}$，e），利用g（x）在（0，e]上的最小值为3，求a的值．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；
（2）证明：由（1）知，f（x）_max=f（1）=0，∴[f（x）+$\frac{1}{2}$]_max=$\frac{1}{2}$，
当a=1时，g（x）=x-lnx，∴g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），
∴g（x）_min=g（1）=1，
∵1＞$\frac{1}{2}$，
∴对于区间（0，e]（其中e为自然对数的底数）上的任意两个值x₁，x₂，总有g（x₁）＞f（x₂）+$\frac{1}{2}$；
（3）解：∵g（x）=ax-lnx，
∴g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
∴a＞0，x∈（0，$\frac{1}{a}$），g′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{a}$，e），g′（x）＞0，
∴g（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{a}$），单调增区间是（$\frac{1}{a}$，e），
∵g（x）在（0，e]上的最小值为3，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$=3，
∴a=e²．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．