Question

15．已知过抛物线C：y²=2x的焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．若a•|AF|=1，b•|BF|=1，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}+\frac{{b}^{2}}{b+1}$的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．

Answer 1

分析 根据题意，a=$\frac{1}{|AF|}$，b=$\frac{1}{|BF|}$，所以，a+b=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$=2，化简$\frac{{a}^{2}+2}{a}+\frac{{b}^{2}}{b+1}$，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：根据题意，a=$\frac{1}{|AF|}$，b=$\frac{1}{|BF|}$，
所以，a+b=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$=2（定值），因此，
原式=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（b+1）^{2}-2（b+1）+1}{b+1}$=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$=1+$\frac{1}{3}$（a+b+1）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$）≥$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．
即原式的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．

点评 本题考查抛物线的性质，考查基本不等式的运用，正确运用“1”的代换是关键．