Question

12．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，左、右顶点分别为A，B．
（1）若Rt△F₁F₂C的顶点C在椭圆E上的第一象限内，求点C的坐标；
（2）在定直线l：x=m（m＞2）上任取一点P（P不在x轴上），线段PA交椭圆于点Q，若∠PBQ始终为钝角，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的两焦点，讨论Rt△F₁F₂C的直角顶点，运用直线垂直的条件，解方程，即可得到C的坐标；
（2）设P（m，t），（m＞2，t≠0），求得直线PA的方程，代入椭圆方程，求得Q的坐标，向量BP，BQ的坐标，∠PBQ始终为钝角，即有$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$＜0恒成立，且$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BQ}$不共线．化简整理，计算即可得到m的范围．

解答 解：（1）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设C（m，n），若F₂为直角顶点，可令m=$\sqrt{3}$，即有$\frac{3}{4}$+n²=1，解得n=$\frac{1}{2}$，则为C（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）；
若C为直角顶点，即有${k}_{C{F}_{1}}$•${k}_{C{F}_{2}}$=-1，即m²+n²=3，由$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
解得m=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则为C（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故点C的坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
（2）设P（m，t），（m＞2，t≠0），
又A（-2，0），B（2，0），
直线PA的方程为y=$\frac{t}{m+2}$（x+2），代入椭圆方程x²+4y²=4，
可得（（m+2）²+4t²）x²+16t²x+16t²-4（m+2）²=0，
由-2+x_Q=-$\frac{16{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，可得x_Q=$\frac{2（m+2）^{2}-8{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，
y_Q=$\frac{t}{m+2}$（x_Q+2）=$\frac{4t（m+2）}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，
即为Q（$\frac{2（m+2）^{2}-8{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，$\frac{4t（m+2）}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$），
则$\overrightarrow{BP}$=（m-2，t），$\overrightarrow{BQ}$=（$\frac{-16{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，$\frac{4t（m+2）}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$），
∠PBQ始终为钝角，即有$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$＜0恒成立，且$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BQ}$不共线．
则$\frac{-16{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$•（m-2）+$\frac{4t（m+2）}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$•t＜0，且t•$\frac{-16{t}^{2}}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$≠（m-2）•$\frac{4t（m+2）}{（m+2）^{2}+4{t}^{2}}$，
即有-16t²（m-2）+4t²（m+2）＜0，且-16t³≠4t（m²-4），
解得m＞$\frac{10}{3}$，且-4t²≠m²-4显然成立，
故实数m的取值范围为（$\frac{10}{3}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查∠PBQ为钝角的条件为向量BP，BQ的数量积为负，且不共线，考查运算能力，属于中档题．