Question

2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥平面B₁BCC₁，利用线面垂直的判定，证明CC₁⊥AD，BC⊥AD，即可‘
（Ⅱ）连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD，利用OD为△A₁BC中位线，可得A₁B∥OD，利用线面平行的判定，可证A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）转换底面，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：因为ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC
因为AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，
所以A₁B∥OD，
因为A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）解：三棱锥C₁-ADB₁的体积=${V}_{A-{C}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•AD$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定是关键．