Question

14．设平面内有四个向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，满足$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意解关于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程组可得；
（2）由（1）知结合向量的数量积和模长公式可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$及|$\overrightarrow{m}$|和|$\overrightarrow{n}$|，代入向量的夹角公式可得．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，
联立解关于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程组可得$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
（2）由（1）知$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3，
由模长公式可得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查平面向量的数量积和模长公式，以及向量的夹角公式，属基础题．