Question

5．已知函数f（x）=|2x-3|+|2x-1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）设m．n∈R，且m+n=1，求证：$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$．

Answer 1

分析 （1）①当$x≤\frac{1}{2}$时，②当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$时，③当$x≥\frac{3}{2}$时，去掉绝对值符号求解不等式即可．
（2）要证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立，只需证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．

解答 （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）①当$x≤\frac{1}{2}$时，原不等式化为3-2x+1-2x≥3，解得，$x≤\frac{1}{4}$；
∴$x≤\frac{1}{4}$
②当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$时，原不等式化为3-2x+2x-1≥3，无解；
③当$x≥\frac{3}{2}$时，原不等式化为2x-3+2x-1≥3，解得，$x≥\frac{7}{4}$；
∴$x≥\frac{7}{4}$
综上，不等式f（x）≥3的解集为{x|$x≤\frac{1}{4}$或$x≥\frac{7}{4}$}．…（5分）
（2）|2x-3|+|2x-1|≥|（2x-3）-（2x-1）|=2，…（7分）
要证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立
只需证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$，
即证${（\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}）^2}≤8$，
即证$2m+1+2n+1+2\sqrt{（2m+1）（2n+1）}≤8$，
即证$\sqrt{（2m+1）（2n+1）}≤2$，
即证（2m+1）（2n+1）≤4，
即证$mn≤\frac{1}{4}$，
又m+n=1，
∴$mn≤{（\frac{m+n}{2}）^2}=\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．…（10分）

点评 本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，考查逻辑推理能力以及计算能力．