Question

3．已知在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，若B为钝角，且$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{cosA}=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，且$a=\sqrt{5}$，求b和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式去分母整理后，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，根据A为锐角求出A的度数即可；
（Ⅱ）已知等式利用平面向量的数量积运算法则化简，整理得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，联立求出b与c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{sinA}$+$\frac{1}{cosA}$=2$\sqrt{2}$，
∴sinA+cosA=2$\sqrt{2}$sinAcosA，
∴$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2A，即sin（A+$\frac{π}{4}$）=sin2A，
∵A为锐角，∴A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由题意可得：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$bccosA=3，
∴bc=3$\sqrt{2}$①，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA=5，
∴b²+c²=11②，
联立①②，解得：$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∵B为钝角，
∴b＞c，
则b=3，c=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．