Question

11．某中学高二研究性学校小组按以下方案测算一种烟花的垂直发射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该烟花的垂直发射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到地面C处发射声音的时间比B地晚$\frac{2}{17}$秒，在A地测得这种烟花至高点H时的仰角为30°，求这种烟花的垂直发射高度（声音的传播速度为340米/秒）

Answer 1

分析 先在△ABC内，由余弦定理求|AC|，再在△ACH中，利用正弦定理，即可求得该仪器的垂直弹射高度CH．

解答 解：由题意，设|AC|=x，则|BC|=x-$\frac{2}{17}×340$=x-40，
在△ABC内，由余弦定理：|BC|²=|BA|²+|CA|²-2|BA|•|CA|•cos∠BAC，（3分）
即  （x-40）²=x²+10000-100x，
解之得x=420．…（5分）
在△ACH中，|AC|=420，∠CAH=30°，∠CHA=90°-30°=60°，
由正弦定理：$\frac{|CH|}{sin∠CAH}=\frac{|AC|}{sin∠AHC}$．…（8分）
所以|CH|=140$\sqrt{3}$．…（11分）
答：该仪器的垂直弹射高度140$\sqrt{3}$米．…（12分）

点评 本题综合考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查利用正弦、余弦定理解决实际问题，确定三角形，选择正弦、余弦定理是解题的关键．