Question

5．已知等差数列{a_n}，又a₁，a₂，a₅成等比数列且a₂，a₃+2，a₆成等差数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）定义：$\frac{n}{{{P_1}+{P_2}+…+{P_n}}}$为n个正数P₁，P₂，P₃，…，P_n（ n∈N^*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b_n}前n项的“均倒数”为$\frac{1}{a_n}$（n∈N*），求数列{b_n}的通项b_n；
（ⅱ）求$\frac{1}{{{b_1}•{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}•{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₂，a₃+2，a₆成等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）（ⅰ）通过计算可得$\frac{n}{{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}}}=\frac{1}{2n-1}$，利用b₁+b₂+…b_n与b₁+b₂+…b_n-1的差计算即得结论；（ⅱ）通过对$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$分离分母，并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由題意有：$\left\{\begin{array}{l}{（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+4d）\\ 2（{a_1}+2d+2）=2{a_1}+6d\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意有：$\frac{n}{{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}}}=\frac{1}{2n-1}$，
∴b₁+b₂+…b_n=n•（2n-1），①
b₁+b₂+…b_n-1=（n-1）•[2（n-1）-1]（n≥2）②
由①-②得：b_n=4n-3（n≥2），
又b₁=1，∴b_n=4n-3（n∈N*）；
（ⅱ）∵$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（4n-3）•（4n+1）}=\frac{1}{4}[\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}]$，
∴$\frac{1}{{{b_1}•{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}•{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{4}[{（{1-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{9}}）+…+（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）}]$
=$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{4n+1}}）=\frac{n}{4n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．