Question

20．已知函数f（x）=2sin（ωx+θ ） （ω＞0）的图象如图所示，则ω=2，若将函数f（x）的图象向左平移φ $（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$个单位后得到一个偶函数，则φ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：由图象知，$\frac{3}{4}$T=$\frac{7}{12}π-（-\frac{π}{6}）=\frac{9π}{12}$，
即T=$π=\frac{2π}{ω}$，
即ω=2，
则f（x）=2sin（2x+θ ），
由五点对应法可得2×$\frac{7π}{12}$+θ=π，
解得θ=$-\frac{π}{6}$，即f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$ ），
将函数f（x）的图象向左平移ϕ $（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$个单位后得到y-2sin[2（x+φ）$-\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ$-\frac{π}{6}$），
此时函数为偶函数，
则2φ$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
当k=0时，φ=$\frac{π}{3}$；
故答案为：2，$\frac{π}{3}$；

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出ω和θ是解决本题的关键．