Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）用cosx表示$\overrightarrow a•\overrightarrow b$及|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|；
（Ⅱ）求函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+2|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算可得$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2cos²x-1，|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2|cosx|，结合x的范围，即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2（cosx+1）²-3，结合x的范围即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$cos\frac{3x}{2}$$cos\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}$$sin\frac{x}{2}$=cos2x=2cos²x-1，----（2分）
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{{{（{cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}}）}^2}+{{（{sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}}）}^2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴cosx≥0，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2cosx．-----（5分）
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+2|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=2cos²x-1+4cosx=2（cosx+1）²-3，-------（7分）
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴0≤cosx≤1，
∴当cosx=0时，f（x）取得最小值-1．-------（10分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式的应用，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．