Question

17．若x∈[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]，则y=tan（x+$\frac{2π}{3}$）-tan（x+$\frac{π}{6}$）+cos（x+$\frac{π}{6}$）的最大值是$\frac{11\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用三角函数的单调性求出函数f（x）的最大值．

解答 解：y=tan（x+$\frac{2π}{3}$）-tan（x+$\frac{π}{6}$）+cos（x+$\frac{π}{6}$）=-cot（x+$\frac{π}{6}$）-tan（x+$\frac{π}{6}$）+cos（x+$\frac{π}{6}$）
=-$\frac{cos（x+\frac{π}{6}）}{sin（x+\frac{π}{6}）}$-$\frac{sin（x+\frac{π}{6}）}{cos（x+\frac{π}{6}）}$+cos（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{{cos}^{2}（x+\frac{π}{6}{）+sin}^{2}（x+\frac{π}{6}）}{sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）}$+cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{-2}{sin（2x+\frac{π}{3}）}$+cos（x+$\frac{π}{6}$） 
=$\frac{2}{sin（2x+\frac{4π}{3}）}$+cos（x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]，可得x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]，故cos（x+$\frac{π}{6}$）在[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]上是增函数．
由x∈[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]，故 $\frac{2}{sin（2x+\frac{4π}{3}）}$在[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]上也是增函数，
故原函数在[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]上是增函数，故当x=-$\frac{π}{3}$时，函数y取得最大值为$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，
故答案为：$\frac{11\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，利用三角函数的单调性求函数的最值，属于中档题．