Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，F在AD上且∠FCD=30°．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）若PA=2AB=2，求四面体P-ACE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明F为AD的中点，利用三角形中位线，得出EF∥PA，从而EF∥平面PAB．证出CF∥AB，从而CF∥平面PAB．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；
（2）利用等体积法，根据锥体体积公式算出三棱锥P-ACE的体积．

解答 （1）证明：∵ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，
∴∠FDC=30°，
∵∠FCD=30°，
∴∠ACF=60°，
∴AF=CF=DF，
∴F为AD的中点，
∵E为PD的中点，
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
∵∠BAC=∠ACF=60°，
∴CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE?面CEF，∴CE∥平面PAB；
（2）解：∵EF∥AP，
∴EF∥平面APC，
∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=60°，PA=2AB=2，
∴AC=2AB=2，CD=$\frac{AC}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴V_P-ACE=V_E-PAC=V_F-PAC=V_P-ACF=$\frac{1}{3}$S_△ACD×PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题给出特殊的四棱锥，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了空间直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．