Question

10．（普通班做）（已知椭圆C的两焦点分别为${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）、{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$c=2\sqrt{2}，a=3$，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，即可得到椭圆方程；
（2）设$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，将直线AB的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到．

解答 解：（1）由${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）、{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，长轴长为6，
得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，即b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）设$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，
由（1）可知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1①，
∵直线AB的方程为y=x+2②，
把②代入①得化简并整理得10x²+36x+27=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
由|AB|=$\sqrt{1+1}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
则$|{AB}|=\sqrt{（1+{1^2}）（\frac{{{{18}^2}}}{5^2}-4×\frac{27}{10}）}=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．