Question

13．已知函数f（x）=xe^ax（x∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-1，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若a=-1，且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （I）求出a=1时函数f（x）和导数，求得切点和切线的斜率，即可得到切线方程；
（Ⅱ）当a=-1时，函数f（x）=xe^-x．求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间，继而得到f（x）的极值；
（Ⅲ）构造函数h（x）=f（x）-g（x），证明函数h（x）在（1，+∞）上是增函数，即可证得结论．

解答 解：（I）若a=1时，f（x）=xe^x，f′（x）=（1+x）e^x，
∴切线的斜率为f′（0）=1，f（0）=0，
则切点为（0，0），
故切线方程为y=x；
（Ⅱ）若a=-1时，f（x）=xe^-x，
∴f′（x）=（xe^-x）′=e^-x+x（e^-x）′=（1-x）e^-x，
令f′（x）=（1-x）e^-x=0，解得：x=1．
令f′（x）＜0，则x＞1．
令f′（x）＞0，则x＜1．
则函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=$\frac{1}{e}$，无极大值；
（Ⅲ），若a=-1时，f（x）=xe^-x，
∵y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
函数y=g（x）的图象上任意一点（x₀，y₀）关于直线x=1对称的点为（2-x₀，y₀），
∴y₀=（2-x₀）${e}^{{x}_{0}-2}$，
∴g（x）=（2-x）e^x-2，
设h（x）=f（x）-g（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2，
∴h′（x）=（1-x）e^-x-（1-x）e^x-2=（1-x）（e^-x-e^x-2），
令m（x）=e^-x-e^x-2，
∴m′（x）=-e^-x-e^x-2＜0恒成立，
∴m（x）＜m（1）=$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=0，
∴h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）单调递增，
∴h（x）＞h（1）=$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=0，
∴f（x）＞g（x）．

点评 本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值，以及函数的解析式的求解和恒成立的证明，属于中档题．