Question

3．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．
（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．

解答 证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，
因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，…（2分）
所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，…（3分）
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，…（6分）
又因为AE?平面BCD，DM?平面BCD，…（7分）
所以AE∥平面BCD．…（8分）
（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM．…（10分）
由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD．…（12分）
因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．
因为CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．…（14分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．