Question

15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：
①f（x）=sin$\frac{π}{2}$x；②f（x）=2x²-1；③f（x）=|1-2^x|；④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为①②③．

Answer 1

分析 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．

解答 解：①对于f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，存在“可等域区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sin$\frac{π}{2}$x∈[0，1]；
②对于函数f（x）=2x²-1，存在“可等域区间”，如 x∈[-1，1]时，f（x）=2x²-1∈[-1，1]；
③对于函数f（x）=|1-2^x|，存在“可等域区间”，如x∈[0，1]时，f（x）=|2^x-1|∈[0，1]；
④∵f（x）=log₂（2x-2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），
若存在“可等域区间”，则满足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2m-2）=m}\\{lo{g}_{2}（2n-2）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m-2={2}^{m}}\\{2n-2={2}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程2^x-2x+2=0的两个根，设f（x）=2^x-2x+2，f′（x）=2^xln2-2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在两个解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域区间”．
所以其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为①②③．
故答案为：①②③

点评 本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．