Question

13．过点M（-1，1）作斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为$\frac{1}{2}$，即可求出椭圆C的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1  ①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1  ②，
∵M是线段AB的中点，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
∵直线AB的方程是y=$\frac{1}{2}$（x+1）+1，
∴y₁-y₂=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
①②两式相减可得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴-2$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{a}^{2}}$+2$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，
∴-2$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{a}^{2}}$+2$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=0$，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键，注意解题方法的积累，属于中档题．