Question

8．如图，在四棱锥C-A₁ABB₁中，A₁A∥BB₁，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=$\frac{π}{2}$，AC=AA₁=1，BC=BB₁=2．
（1）求证：平面A₁AC⊥平面B₁BC；
（2）若点C在棱AB上的射影为点P，求二面角A₁-PC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面A₁AC，即可证明平面A₁AC⊥平面B₁BC；
（2）证明∠A₁PB₁即二面角的A₁-PC-B₁一个平面角，利用tan∠A₁PB₁=-tan（∠A₁PA+∠B₁PB），即可求二面角A₁-PC-B₁的余弦值．

解答 （1）证明：因为A₁A⊥平面ABC，所以A₁A⊥BC，…（2分）
又因为AC⊥BC，A₁A∩AC=A，
所以BC⊥平面A₁AC，…（4分）
所以平面A₁AC⊥平面B₁BC．…（5分）
（2）解：先考查二面角A-PC-A₁和二面角B-PC-B₁，
因为A₁A⊥平面ABC，所以A₁A⊥CP，
又因为CP⊥AB，
所以CP⊥面A₁ABB₁，所以CP⊥A₁P，CP⊥B₁P，
所以∠A₁PB₁即二面角的A₁-PC-B₁一个平面角，…（7分）
因为tan∠A₁PA=$\frac{A{A}_{1}}{AP}$=$\sqrt{5}$，…（9分）
tan∠B₁PB=$\frac{B{B}_{1}}{BP}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，…（11分）
所以tan∠A₁PB₁=-tan（∠A₁PA+∠B₁PB）=-$\frac{\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{1-\sqrt{5}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\sqrt{5}$，…（14分）
所以cos∠A₁PB₁=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以二面角A₁-PC-B₁的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（15分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．