Question

3．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为$\sqrt{3}$的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论．

解答 解：设双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
则e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{3}$，∴b²=2a²，
∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为：$\frac{y^2}{b^2}$+$\frac{x^2}{a^2}$=1，
∴“伴生椭圆”的离心率为$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{b}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．