Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求椭圆C的方程．
（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（-1，0），记|QA|²=1+λ|QO|²，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及P满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；
（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，代入椭圆方程，求得|QA|，|QO|，求得λ关于x的关系式，讨论x的符号，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
∴3a²=4c²，c²=3b²，
∴椭圆C的方程为：$\frac{3{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
代入P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；            
（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，则|QO|²=x²+y²，
又A（-1，0），|QA|²=（x+1）²+y²，
λ=$\frac{|QA{|}^{2}-1}{|QO{|}^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+{y}^{2}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
点P（x，y）满足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，即有y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
λ=1+$\frac{2x}{1+\frac{3{x}^{2}}{4}}$=1+$\frac{8x}{4+3{x}^{2}}$，
当x≤0时，λ≤1，
当x＞0时，x∈（0，2]，λ=1+$\frac{8}{3x+\frac{4}{x}}$，
因为3x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{3x•\frac{4}{x}}$=4$\sqrt{3}$，所以λ≤1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当且仅当x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，
λ取得最大值1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考成绩基本不等式的运用：求最值，属于中档题．