Question

6．已知双曲线M的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点相同．如果直线y=-$\sqrt{2}$x是M的一条渐近线，那么M的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由题意可设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a，b＞0）$，由直线y=-$\sqrt{2}$x是M的一条渐近线，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$．由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点为（±3，0），可得c=3，再利用c²=a²+b²，解出即可．

解答 解：由题意可设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a，b＞0）$，
∵直线y=-$\sqrt{2}$x是M的一条渐近线，∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$．
椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点为（±3，0），
∴c=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=6．
∴M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．