Question

8．求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数f（2x+1）=4x²-6x-15，求f（x）；
（2）已知满足f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，求f（x）；
（3）已知f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用换元法令2x+1=t，从而得x=$\frac{t-1}{2}$；从而得f（t）=4（$\frac{t-1}{2}$）²-6$\frac{t-1}{2}$-15=t²-5t-11，从而解得．
（2）由f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=3$\frac{1}{x}$，联立方程解得．
（3）由f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$得f（-x）+2f（x）=-$\frac{1}{x}$；联立方程解得．

解答 解：（1）令2x+1=t，则x=$\frac{t-1}{2}$；
则f（t）=4（$\frac{t-1}{2}$）²-6$\frac{t-1}{2}$-15
=t²-5t-11，
故f（x）=x²-5x-11；
（2）∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，
∴f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=3$\frac{1}{x}$，
联立解得，f（x）=$\frac{2}{x}$-x；
（3）∵f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（-x）+2f（x）=-$\frac{1}{x}$；
联立解得，f（x）=-$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，应用了换元法与解方程组的方法，属于基础题．