Question

20．己知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，A，B，C成等差数列．
（1）若a=1，b=$\sqrt{3}$，求sin C；
（2）若a，b，c成差数列，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、三角形的内角和定理可得B，利用正弦定理可得A，进而得到C；
（2）利用等差数列与余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由$A+B+C=π，2B=A+C，得B=\frac{π}{3}$．
$由\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}，得\frac{1}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}，得sinA=\frac{1}{2}$．
又0＜A＜B，∴$A=\frac{π}{6}$，∴$C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$．
∴sinC=1．
（2）证明：由2b=a+c，得4b²=a²+2ac+c²．
∴又b²=a²+c²-ac．
∴4（a²+c²-ac）=a²+2ac+c²．
化为3（a-c）²=0，
∴$a=c.\end{array}$
∴$A=C，又A+C=\frac{2π}{3}$，∴$A=C=B=\frac{π}{3}$．
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了等差数列、三角形的内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．