Question

18．已知直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． m≥1
• B． m≥1且m≠1
• C． m≥1且m≠5
• D． 0＜m＜5且m≠1

Answer 1

分析 先由椭圆的标准方程判断m＞0，且m≠5，联立直线方程和椭圆方程消去y可得到关于x的一元二次方程，根据题意知道该方程有解，从而△≥0，从而可以得到$\frac{1-m}{5}≤{k}^{2}$，从而便得到$\frac{1-m}{5}≤0$，综上即可得出m的取值范围．

解答 解：由椭圆标准方程知m＞0，且≠5；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$得：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0；
∵直线和椭圆恒有公共点，∴上面方程有解；
∴△=100k²-4（m+5k²）（5-5m）≥0；
∴$\frac{1-m}{5}≤{k}^{2}$；
∵k²的最小值为0；
∴$\frac{1-m}{5}≤0$；
∴m≥1，且m≠5；
故选：C．

点评 考查椭圆的标准方程，直线和椭圆有公共点时对应的直线方程和椭圆方程形成的方程组有解，一元二次方程是否有解与判别式△取值的关系．