Question

13．直线y=kx+4与圆x²+y²+2kx-2y-2=0交于M，N两点，若点M，N关于直线x+y=0对称，则|MN|等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由题意，得直线x+y=0是线段MN的中垂线，利用垂直直线的经过圆的圆心坐标，即可求出k，利用圆心到直线的距离，半径半弦长，即可求出本题答案．

解答 解：由题意，可得
∵直线y=kx+4与圆x²+y²+2kx-2y-2=0交于M，N两点，若点M，N关于直线x+y=0对称，
∴直线x+y=0是线段MN的中垂线，得k•（-1）=-1，解之得k=1，
所以圆方程为x²+y²+2x-2y-2=0，圆心坐标为（-1，1），半径为2．
圆的圆心到直线y=x+4的距离为：$\frac{|-1-1+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-{（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题给出直线与圆相交，且两个交点关于已知直线对称，求参数k的值．着重考查了直线的斜率、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．