Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，且a=2，所以c=1，b=$\sqrt{3}$，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；
（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值，|MN|，即可求△PMN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，且a=2，所以c=1，b=$\sqrt{3}$．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（3分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），n（-x₁，-y₁），
则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$．
所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值-$\frac{3}{4}$．…（6分）
（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，
代入椭圆方程，得（3k²+4）x²+8ktx+4t²-12=0．
令△=0，得|t|=$\sqrt{3+4{k}^{2}}$．…（8分）
这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．
所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
又由y=kx与椭圆方程，解得|x₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$．
所以|MN|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁|=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$．
所以，△PMN面积的最大值为$\frac{1}{2}|MN|d$=2$\sqrt{3}$ …（10分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．