Question

9．从双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（　　）

• A． |MO|-|MT|＞b-a
• B． |MO|-|MT|=b-a
• C． |MP|-|MT|＜b-a
• D． 不确定

Answer 1

分析 将点P置于第一象限．设F₁是双曲线的右焦点，连接PF₁．由M、O分别为FP、FF₁的中点，知|MO|=$\frac{1}{2}$|PF₁|．由双曲线定义，知|PF|-|PF₁|=2a，|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．由此知|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|FT|=b-a．

解答 解：将点P置于第一象限．
设F₁是双曲线的右焦点，连接PF₁
∵M、O分别为FP、FF₁的中点，∴|MO|=$\frac{1}{2}$|PF₁|．
又由双曲线定义得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．
故|MO|-|MT|
=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MF|+|FT|
=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故选：B．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．