Question

18．已知：a_n=1024+lg2^1-n（lg2=0.3010），n∈N₊．
（1）问前多少项之和为最大？
（2）前多少项之和的绝对值最小？

Answer 1

分析 （1）根据题意，对数列{a_n}通项公式变形，分析可得该数列是以1024为首项，公差d为-lg2的等差数列；结合其前n项和的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1024+（1-n）lg2≥0}\\{{a}_{n+1}=1024-nlg2≤0}\end{array}\right.$，
解出n的范围并取整数可得答案；
（2）由（1）可得，数列{a_n}是等差数列，进而可得其S_n公式，令S_n=0，可得n的值，取其中最接近的正整数，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，a_n=1024+lg2^1-n=1024+（1-n）lg2=1024+（n-1）（-lg2），
数列{a_n}是以1024为首项，公差d为-lg2的等差数列；
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1024+（1-n）lg2≥0}\\{{a}_{n+1}=1024-nlg2≤0}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{1024}{lg2}$≤n≤$\frac{1024}{lg2}$+1，
若n为整数，则n=3402，即n=3402时，数列{a_n}前n项之和为最大；
（2）由（1）可得，数列{a_n}是以1024为首项，公差d为-lg2的等差数列；
则其S_n=1024n-$\frac{1}{2}$n（n-1）lg2=-$\frac{1}{2}$lg2•n²+（1024+$\frac{1}{2}$lg2）n，
令S_n=0，可得n=$\frac{2048}{lg2}$+1≈6084.99，
即n=6085时，S_n最接近0，即其前6085项之和的绝对值最小．

点评 本题考查等差数列的前n项和公式的运用，解答时首先要将其通项公式变形，分析得到该数列为等差数列．