Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过（0，-1）
（1）求该椭圆的方程；
（2）设F₁，F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A，B是椭圆上的点，并在x轴的上方，若$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求四边形ABF₂F₁的面积．

Answer 1

分析 （I）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解方程可求a，c，然后根据b²=a²-c²，即可求椭圆方程
（II）由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₁A平行于F₂B，由椭圆的对称性可知，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，（C为直线F₁A与椭圆的另一个交点），设直线的方程为x=my$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），C （x₂，y₂）将x=my-$\sqrt{2}$入椭圆方程，结合方程的根与系数关系可求，y₁+y₂，y₁y₂由，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，可求m，即可求解

解答 解：（I）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
解可得，$a=\sqrt{3}，c=\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（II）如图所示，由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₁A平行于F₂B，
由椭圆的对称性可知，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，（C为直线F₁A与椭圆的另一个交点），
设直线的方程为x=my$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），C （x₂，y₂），
将x=my-$\sqrt{2}$入椭圆方程有（my-$\sqrt{2}$）²+3y²=3，
整理可得，$（{m}^{2}+3）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-1=0$，
由方程的根与系数关系可得，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}m}{3+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{3+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，（1）
又由，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，可得y₁=-5y₂，
代入（1）可得，m²=2，
当m=$\sqrt{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}y-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6\sqrt{2}}{5}}\\{y=-\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
当m=-$\sqrt{2}$时，由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}y-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得，A（0，-1），
∵A，B是椭圆上的点，并在x轴的上方，故A（0，-1）舍去，
由两点间的距离公式可得AF₁=$\sqrt{3}$，BF₂=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
直线AF₁和BF₂间的距离为d=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
所以四边形ABF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{5}）×\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，试题具有一定的综合性