Question

3．已知函数f（x）=2^x+2^-x，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；
（3）若f（x）=5•2^-x+3，求x的值．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的定义域，再判断f（-x）与f（x）的关系即可；
（2）先设x₁，x₂是（0，+∞）任意的两个数且x₁＜x₂，从而作差化简$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，从而判号即可；
（3）由题意可知，2^x+2^-x=5•2^-x+3，利用换元法令2^x=t，（t＞0），从而得到$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{t}+3$，从而解出t，再求x．

解答 解：（1）f（x）=2^x+2^-x的定义域为R，关于原点对称；
又f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（2）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）任意的两个数且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$
=${2^{x_1}}-{2^{x_2}}+\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$
=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，
∵0＜x₁＜x₂，y=2^x是增函数，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}＞1$；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由题意可知，2^x+2^-x=5•2^-x+3
令2^x=t，（t＞0），则$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{t}+3$．
解得t=-1（舍去）或者t=4．
即2^x=4，
∴x=2．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断及方程的求解，属于中档题．