Question

7．已知点P（x，y）是圆x²+y²=2上一动点，则$\frac{y}{x-2}$的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 $\frac{y}{x-2}$表示圆x²+y²=2上的点P（x，y）与点A（2，0）连线的斜率，设过点A的圆的切线斜率为k，用点斜式求得圆的切线方程，由圆心（0，0）到切线的距离等于半径求得k的值，可得$\frac{y}{x-2}$的取值范围．

解答 解：由题意可得，则$\frac{y}{x-2}$表示圆x²+y²=2上的点P（x，y）与点A（2，0）连线的斜率，
设过点A的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y-0=k（x-2），即 kx-y-2k=0，
由圆心（0，0）到切线的距离等于半径可得$\frac{|0-0-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求得k=±1，
故则$\frac{y}{x-2}$的取值范围是[-1，1]，
故答案为：[-1，1]．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．