Question

6．如图，椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=4的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P（$\sqrt{2}$，1），求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，可得椭圆的离心率，又圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，从而列出关于a，b，c的方程求得a，b，c．最后写出椭圆M的方程；
（2）直线AB的直线y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△PAB面积的最大值，从而解决问题．

解答 解：（1）双曲线x²-y²=4的离心率为$\sqrt{2}$，
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，
得：a=2，又b²=a²-c²，
解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
所求椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，
代入椭圆方程x²+2y²=4，可得x²+$\sqrt{2}$mx+m²-2=0
由△=2m²-4（m²-2）＞0，得-2＜m＜2，
∵x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-2，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{2{m}^{2}-4（{m}^{2}-2）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-2{m}^{2}}$，
又P到AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$．
则S_△ABP=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-2{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{{m}^{2}（4-{m}^{2}）}$，
由m²（4-m²）≤（$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$）²=4，
当且仅当m²=4-m²，即m=$±\sqrt{2}$，取得等号．
即有△PAB面积的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．