Question

14．已知各项不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₆+8a₇=0，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且T₂=a₂+a₃，b₃=a₃，n∈N^*
（1）求$\frac{{S}_{7}}{{a}_{6}}$；
（2）若a₂=7，b₂＞0，求数列{a_nb_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列的概念直接计算即可；
（2）通过（1）及a₂=7得a_n=11-2n，通过T₂=a₂+a₃，b₃=a₃可得b_n=$（\frac{1}{3}）^{n-3}$，利用A_n-$\frac{1}{3}$A_n、错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}公差为d，由S₆+8a₇=0得a₁=-$\frac{9}{2}d$，
则$\frac{{S}_{7}}{{a}_{6}}$=$\frac{7{a}_{1}+21d}{{a}_{1}+5d}$=$\frac{7（-\frac{d}{2}）+21d}{-\frac{d}{2}+5d}$=-21；
（2）由a₂=7得a₁+d=7，则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{9}{2}d}\\{{a}_{1}+d=7}\end{array}\right.$，
故a₁=9，d=-2，∴a_n=11-2n，
设等比数列{b_n}公比为q，由T₂=a₂+a₃，b₃=a₃，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{1}q=12}\\{{b}_{1}{q}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得q=$\frac{1}{3}$或q=-$\frac{1}{4}$，
又b₂＞0，则q=-$\frac{1}{4}$（舍去），
∴q=$\frac{1}{3}$，b₁=9，
∴b_n=9×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$（\frac{1}{3}）^{n-3}$，
则A_n=9×$（\frac{1}{3}）^{-2}$+7×$（\frac{1}{3}）^{-1}$+5×$（\frac{1}{3}）^{0}$+…+（11-2n）×$（\frac{1}{3}）^{n-3}$，
$\frac{1}{3}$A_n=9×$（\frac{1}{3}）^{-1}$+7×$（\frac{1}{3}）^{0}$+…+（13-2n）×$（\frac{1}{3}）^{n-3}$+（11-2n）×$（\frac{1}{3}）^{n-2}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$A_n=9×$（\frac{1}{3}）^{-2}$-2[$（\frac{1}{3}）^{-1}$+$（\frac{1}{3}）^{0}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-3}$]-（11-2n）×$（\frac{1}{3}）^{n-2}$，
化简得：A_n=108-$\frac{n-4}{{3}^{n-3}}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．