Question

2．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，且|F₁F₂|=2，若椭圆C经过点M（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设平行于F₁M的直线l（不过椭圆的上下两个顶点）交椭圆C于不同的两点A和B，直线MA和MB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由题意可得2c=2，b=1，又a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（II）F₁（-1，0），${k}_{M{F}_{1}}$=1．可设直线l的方程为：y=x+m（m≠±1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与题意方程联立化为3x²+4mx+2m²-2=0，利用根与系数的关系、向量计算公式可得k₁+k₂=$\frac{2}{m+1}$=4，解出即可．

解答 解：（I）∵|F₁F₂|=2，椭圆C经过点M（0，1）．
∴2c=2，b=1，又a²=b²+c²，
联立解得a²=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（II）F₁（-1，0），${k}_{M{F}_{1}}$=1．可设直线l的方程为：y=x+m（m≠±1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为3x²+4mx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-1）{x}_{2}+（{y}_{2}-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+m-1）{x}_{2}+（{x}_{2}+m-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+（m-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2+$\frac{（m-1）×（-\frac{4m}{3}）}{\frac{2{m}^{2}-2}{3}}$
=2+$\frac{-4{m}^{2}+4m}{2{m}^{2}-2}$=$\frac{2}{m+1}$=4，
解得m=-$\frac{1}{2}$．满足△=16m²-4×3×（2m²-2）=22＞0，
∴直线l的方程为：2x-2y-1=0．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．