Question

3．设k，m，n都是整数，过圆x²+y²=（3k+1）²外一点P（m³-m，n³-n）向该圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有0个．

Answer 1

分析 由P和原点O的坐标，利用中点坐标公式求出线段OP的中点坐标，再利用两点间的距离公式求出此中点到原点的距离，得到以OP为直径的圆的圆心坐标和半径，写出以OP为直径的圆的方程，记作（1），把已知圆x²+y²=（3k+1）²代入（1），得到过AB的方程（2），通过左右两边分析，若有整点则左边为3的倍数，右边不为3的倍数，即可得到答案．

解答 解：∵P（m³-m，n³-n），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（$\frac{1}{2}$（m³-m），$\frac{1}{2}$（n³-n）），
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-$\frac{1}{2}$（m³-m）]²+[y-$\frac{1}{2}$（n³-n）]²=$\frac{1}{4}$（m³-m）²+$\frac{1}{4}$（n³-n）²，（1）
将x²+y²=（3k+1）²代入（1）得：（m³-m）x+（n³-n）y=（3k+1）²，（2）它就是过两切点的直线方程，
由m³-m=m（m-1）（m+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，n³-n亦能被3整除，
假设x，y均为整数，则（2）的左边能被3整除．
而（3k+1）²不能被3整除，矛盾．
过这两切点的直线上的任意一点的横坐标和纵坐标不可能均为整数．
故答案为：0．

点评 此题考查了圆的切线方程，圆的标准方程，其中根据题意表示出过圆x²+y²=（3k+1）²外一点P（m³-m，n³-n）向圆引两条切线方程是解本题的关键．