Question

3．设数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且S_n+1=n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化简求解即可．
（2）化简所求通项公式，利用裂项法求解即可．

解答 解：（1）由 ${S_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$，-------------------------------①
则 ${S_n}={（{n-1}）^2}+{a_n}（{n≥2}）$-------------②
①-②得：${S_{n+1}}-{S_n}={n^2}-{（{n-1}）^2}+{a_{n+1}}-{a_n}$，即${a_{n+1}}={n^2}-{（{n-1}）^2}+{a_{n+1}}-{a_n}$，
得a_n=2n-1（n≥2），
又a₁=1也适合上式，∴a_n=2n-1．  …（6分）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．                                …（12分）
说明：由${S_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$可得${S_n}+{a_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$，即${S_n}={n^2}$，亦可求得a_n=2n-1．

点评 本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．