Question

8．在△ABC中，若C=90°，三边为a，b，c，则$\frac{a+b}{c}$的范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 运用直角三角形的勾股定理和不等式：a²+b²≥2ab＞0，当且仅当a=b取得等号，化简整理即可得到取值范围．

解答 解：△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，
即有c²=a²+b²，
则$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a+b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∵a²+b²≥2ab＞0，当且仅当a=b取得等号，
即有$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$∈（0，1]，
∴$\frac{a+b}{c}$的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]，
故选：B．

点评 本题着重考查了直角三角形的勾股定理与基本不等式的运用：求最值，属于中档题．