Question

16．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则异面直线BD₁与AD所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，该正方体的外接球半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，内切球的体积是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用平移法得出∠CBD₁（或其补角）为异面直线BD₁与AD所成角，进而可求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值；求出正方体的对角线长，可得正方体的外接球半径；利用体积公式求内切球的体积．

解答 解：∵BC∥B₁C₁，
∴∠CBD₁（或其补角）为异面直线BD₁与AD所成角
∵BC=a，BD₁=$\sqrt{3}$a，BC⊥CD₁，
∴cos∠CBD₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
正方体的对角线长为$\sqrt{3}$，∴该正方体的外接球半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
内切球的体积是$\frac{4}{3}π×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．