Question

6．已知点A（2，0），B（0，4），点P是过点M（0，-1）的直线l上任意一点，∠APB是锐角，求l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 如图所示，以AB为直径画圆Q（1，2），半径R=$\frac{1}{2}|AB|$．由于点P是过点M（0，-1）的直线l上任意一点，∠APB是锐角，可得直线l与⊙Q相离，设直线l：y=kx-1，则圆心Q到直线l的距离d＞R，解出即可．

解答 解：如图所示，
以AB为直径画圆Q（1，2），半径R=$\frac{1}{2}|AB|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵点P是过点M（0，-1）的直线l上任意一点，∠APB是锐角，
∴直线l与⊙Q相离，
设直线l：y=kx-1，
则圆心Q到直线l的距离d=$\frac{|k-2-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＞$\sqrt{5}$，
化为2k²+3k-2＜0，
解得$-2＜k＜\frac{1}{2}$．
∴l的斜率的取值范围是$（-2，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．