Question

3．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，P是椭圆上一点，且△PF₁F₂面积的最大值等于$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F₁F₂为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$．求k的值．

Answer 1

分析 （I）由△PF₁F₂面积的最大值等于$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$，利用离心率为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求椭圆E的方程；
（II）由于圆O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$建立k的方程求k．

解答 解：（1）由△PF₁F₂面积的最大值等于$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$，
∵离心率为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由直线l与圆O相切，得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴m²=1+k²，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由直线代入椭圆方程，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．