Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且经过点M（2，$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M关于x轴的对称点为N，P是椭圆上异于M，n的任意一点，若直线MP，NP分别交x轴于点A（m，0），B（n，0），请问mn是否为定值，若是，求出点该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率即可得到a²=2b²，带入椭圆方程即可得到$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，然后将点M坐标带入上面方程即可求出b²=4，从而可写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）根据椭圆的对称性即可写出点N的坐标，设P（x₀，y₀），利用直线的点斜式方程即可写出直线MP，NP的方程，都令y=0即可分别求出m=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}-2{y}_{0}}{\sqrt{2}-{y}_{0}}$，
n=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}+2{y}_{0}}{\sqrt{2}+{y}_{0}}$，从而得到$mn=\frac{2{{x}_{0}}^{2}-4{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}$，根据P点在椭圆上，满足椭圆的方程即可得到${{x}_{0}}^{2}=8-2{{y}_{0}}^{2}$，带入上式即可得到mn=8，从而得出结论：mn为定值，定值为8．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a，{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}$；
∴a²=2b²；
∴椭圆方程变成$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
椭圆过点M（2，$\sqrt{2}$）；
∴$\frac{4}{2{b}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$；
∴b²=4；
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）M点关于x的对称点N（2，$-\sqrt{2}$），设P（x₀，y₀），则直线MP，NP都存在斜率且不为0；
∴直线MP的方程为$y-\sqrt{2}=\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，根据已知令y=0，则m=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}-2{y}_{0}}{\sqrt{2}-{y}_{0}}$；
同理求出n=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}+2{y}_{0}}{\sqrt{2}+{y}_{0}}$；
∴$mn=\frac{2{{x}_{0}}^{2}-4{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}$①；
P在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$；
∴${{x}_{0}}^{2}=8-2{{y}_{0}}^{2}$，带入①，则：
mn=$\frac{16-8{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}=8$；
∴mn为定值，定值为8．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念及计算公式，椭圆上的点的坐标满足椭圆的方程，以及椭圆的对称性，直线的点斜式方程，根据两点坐标能求过这两点的直线斜率．