Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合．椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限内的交点为P，|PF|=$\frac{5}{3}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C₁交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{25}{49}$内，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．设P（x₀，y₀），由|PF|=$\frac{5}{3}$，利用椭圆的定义可得${x}_{0}+1=\frac{5}{3}$，解得x₀．由于椭圆C₁与抛物线C₂的交点P在第一象限内，可得y₀．可得P坐标，代入椭圆方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$，又c=1，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆联立化为7x²+8mx+4m²-12=0，△＞0，解得m范围．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB的中点为M$（-\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．由于线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{25}{49}$内，可得$（-\frac{4m}{7}）^{2}+（\frac{3m}{7}）^{2}$≥$\frac{25}{49}$，解得m范围，与△＞0，联立解出即可．

解答 解：（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．
设P（x₀，y₀），由|PF|=$\frac{5}{3}$，∴${x}_{0}+1=\frac{5}{3}$，解得x₀=$\frac{2}{3}$．
∵椭圆C₁与抛物线C₂的交点P在第一象限内，
∴${y}_{0}=\sqrt{4×\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．∴P$（\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．
代入椭圆方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$，又c=1，a²=b²+c²，
联立解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为7x²+8mx+4m²-12=0，
△=64m²-4×7（4m²-12）＞0，解得$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
又x₁+x₂=$-\frac{8m}{7}$，
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=-$\frac{8m}{7}+2m$=$\frac{6m}{7}$，
∴线段AB的中点为M$（-\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．
∵线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{25}{49}$内，
∴$（-\frac{4m}{7}）^{2}+（\frac{3m}{7}）^{2}$≥$\frac{25}{49}$，解得m²≥1，
解得m≥1，m≤-1，又$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
解得$-\sqrt{7}＜m≤-1$，或$1≤m＜\sqrt{7}$．
∴m的取值范围是$（-\sqrt{7}，-1]$∪$[1，\sqrt{7}）$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．