Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（0，3），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A点的直线l被椭圆C截得的弦长|AB|=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$计算即得结论；
（2）通过设直线l的方程，并与椭圆方程联立，利用|AB|=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$计算即得结论．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=12}\\{{b}^{2}=9}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由题易知直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，
则直线l的方程为：y=kx+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+4k²）x²+24kx=0，
解得：x₁=0，x₂=-$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$，
∴方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{24k}{3+4{k}^{2}}}\\{{y}_{2}=3-\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
依题意可得|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{24|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$，
∴2（3+4k²）²=49k²（1+k²），解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=±x+3．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．