Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为4，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，解方程可得a=4，进而得到椭圆方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为4，
即有b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要椭圆的离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．